Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{5} [4 y - (y^{2} - 5)] d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{5} 4 y - (y^{2} - 5) d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{5} 4 y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 1}^{5} y d y + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - (y^{2} - 5) d y$

Étape 6

Multipliez $- (y^{2} - 5)$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} - - 5 d y$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} + 5 d y$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - \int_{- 1}^{5} y^{2} d y + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + \int_{- 1}^{5} 5 d y$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $- 1$ .

$4 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{5}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 y]_{- 1}^{5}$

Étape 13.3

Évaluez $5 y$ sur $5$ et sur $- 1$ .

$4 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{25 - 1}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.4

Soustrayez $1$ de $25$ .

$4 (\frac{24}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.5

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

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Étape 13.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{12}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$4 \cdot 12 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.6

Multipliez $4$ par $12$ .

$48 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.7

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$48 - (\frac{125}{3} - \frac{- 1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$48 - (\frac{125}{3} - - \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$48 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$48 - (\frac{125}{3} + \frac{1}{3}) + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$48 - \frac{125 + 1}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.13

Additionnez $125$ et $1$ .

$48 - \frac{126}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.14

Annulez le facteur commun à $126$ et $3$ .

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Étape 13.4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $126$ .

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 (1)} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$48 - \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$48 - \frac{42}{1} + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.14.2.4

Divisez $42$ par $1$ .

$48 - 1 \cdot 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.15

Multipliez $- 1$ par $42$ .

$48 - 42 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.16

Soustrayez $42$ de $48$ .

$6 + (5 \cdot 5) - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.17

Multipliez $5$ par $5$ .

$6 + 25 - 5 \cdot - 1$

Étape 13.4.18

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$6 + 25 + 5$

Étape 13.4.19

Additionnez $25$ et $5$ .

$6 + 30$

Étape 13.4.20

Additionnez $6$ et $30$ .

$36$

Étape 14