Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sin (5 x - 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (5 x - 4)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (5 x - 4)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (5 x - 4)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x - 4$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 4$ .

$3 (\cos (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 \cos (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \cos (5 x - 4) (5 + 0)$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$3 \cos (5 x - 4) \cdot 5$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 \cos (5 x - 4)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 \cos (5 x - 4)$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [\cos (5 x - 4)]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (\cos (5 x - 4))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 x - 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x - 4$ .

$f'' (x) = 15 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 15 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x - 4$ .

$f'' (x) = 15 (- \sin (5 x - 4) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$f'' (x) = - 15 (\sin (5 x - 4) \frac{d}{d x} (5 x - 4))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} (- 4))$

Étape 2.3.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) (5 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$f'' (x) = - 15 \sin (5 x - 4) \cdot 5$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $5$ par $- 15$ .

$f'' (x) = - 75 \sin (5 x - 4)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$15 \cos (5 x - 4) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $15 \cos (5 x - 4) = 0$ par $15$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $15 \cos (5 x - 4) = 0$ par $15$ .

$\frac{15 \cos (5 x - 4)}{15} = \frac{0}{15}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \cos (5 x - 4)}{15} = \frac{0}{15}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\cos (5 x - 4)$ par $1$ .

$\cos (5 x - 4) = \frac{0}{15}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $15$ .

$\cos (5 x - 4) = 0$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$5 x - 4 = \arccos (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$5 x - 4 = \frac{π}{2}$

Étape 7

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = \frac{π}{2} + 4$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{2} + 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{π}{2} + 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

Étape 8.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$

Étape 9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$5 x - 4 = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 10.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 x - 4 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.1.2

Associez les fractions.

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Étape 10.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 x - 4 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 10.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 x - 4 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 10.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$5 x - 4 = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 10.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$5 x - 4 = \frac{3 π}{2}$

Étape 10.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = \frac{3 π}{2} + 4$

Étape 10.3

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{3 π}{2} + 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 10.3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{3 π}{2} + 4$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 10.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 10.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{4}{5}$

Étape 10.3.3.1.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 10.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5} + \frac{4}{5}$

Étape 10.3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$

Étape 11

La solution de l’équation est $5 x - 4 = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 75 \sin (5 (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 75 \sin (5 \frac{π}{10} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 13.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$- 75 \sin (5 \frac{π}{5 (2)} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 13.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 75 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 13.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 13.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 4 - 4)$

Étape 13.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$- 75 \sin (\frac{π}{2} + 0)$

Étape 13.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$- 75 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 13.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 75 \cdot 1$

Étape 13.4

Multipliez $- 75$ par $1$ .

$- 75$

Étape 14

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{10} + \frac{4}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{10}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 15.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 15.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{5 (2)}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 15.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{π}{5 \cdot 2}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 15.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 15.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 15.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 4 - 4)$

Étape 15.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2} + 0)$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 15.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \cdot 1$

Étape 15.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{10} + \frac{4}{5}) = 3$

Étape 15.2.5

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 75 \sin (5 (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{10} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 17.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 17.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{5 (2)} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 17.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 75 \sin (5 \frac{3 π}{5 \cdot 2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 17.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 17.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 17.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 4 - 4)$

Étape 17.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2} + 0)$

Étape 17.2.2

Additionnez $\frac{3 π}{2}$ et $0$ .

$- 75 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 17.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 75 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 17.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 75 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.5

Multipliez $- 75 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 75 \cdot - 1$

Étape 17.5.2

Multipliez $- 75$ par $- 1$ .

$75$

Étape 18

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) - 4)$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{10}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 19.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{5 (2)}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 19.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (5 (\frac{3 π}{5 \cdot 2}) + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 19.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 19.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 5 (\frac{4}{5}) - 4)$

Étape 19.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 4 - 4)$

Étape 19.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2} + 0)$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $\frac{3 π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 19.2.3

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 19.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 19.2.5

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 19.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = 3 \cdot - 1$

Étape 19.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}) = - 3$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 \sin (5 x - 4)$ .

$(\frac{π}{10} + \frac{4}{5}, 3)$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{10} + \frac{4}{5}, - 3)$ est un minimum local

Étape 21