Calcul infinitésimal Exemples

$6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$

Étape 1

Écrivez $6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$ comme une fonction.

$f (x) = 6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 \sqrt{x} d x + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int \sqrt{x} d x + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \sqrt[6]{x} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int \sqrt[6]{x} d x$

Étape 9

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[6]{x}$ comme $x^{\frac{1}{6}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int x^{\frac{1}{6}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{6}}$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

Simplifiez

$6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $6$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 11.2.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 6 \sqrt{x} - \sqrt[6]{x}$ .

$F (x) =$ $4 x^{\frac{3}{2}} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$