Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} e^{x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{e^{lim_{x \to - 3} x + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} \ln (- 5 - 2 x)}$

Étape 1.3.1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{3 \ln (lim_{x \to - 3} - 5 - 2 x)}$

Étape 1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- lim_{x \to - 3} 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Étape 1.3.1.4

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 1 \cdot 5 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Étape 1.3.1.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 - 2 \cdot - 3)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{0}{3 \ln (- 5 + 6)}$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $- 5$ et $6$ .

$\frac{0}{3 \ln (1)}$

Étape 1.3.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} - 1}{3 \ln (- 5 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3} - 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x + 3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x + 3}]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.3.6

Multipliez $e^{x + 3}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} + 0}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.5

Additionnez $e^{x + 3}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{d}{d x} [3 \ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (- 5 - 2 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 \frac{d}{d x} [\ln (- 5 - 2 x)]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = - 5 - 2 x$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Étape 3.7.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{3 (\frac{1}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x])}$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{- 5 - 2 x}$ et $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 5 - 2 x]}$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Étape 3.10

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Étape 3.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Étape 3.12

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{3}{- 5 - 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.13

Associez $- 2$ et $\frac{3}{- 5 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 2 \cdot 3}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.14

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{- 6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x} \cdot 1}$

Étape 3.17

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 5 - 2 x}}$

Étape 3.18

Simplifiez

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Étape 3.18.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - 2 x}}$

Étape 3.18.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5) - (2 x)}}$

Étape 3.18.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (2 x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- \frac{6}{- 1 (5 + 2 x)}}$

Étape 3.18.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{- - \frac{6}{5 + 2 x}}$

Étape 3.18.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{1 \frac{6}{5 + 2 x}}$

Étape 3.18.6

Multipliez $\frac{6}{5 + 2 x}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3}}{\frac{6}{5 + 2 x}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \frac{5 + 2 x}{6}$

Étape 5

Associez $e^{x + 3}$ et $\frac{5 + 2 x}{6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{e^{x + 3} (5 + 2 x)}{6}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} (5 + 2 x)$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to - 3} e^{x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Étape 8

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Étape 10

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot lim_{x \to - 3} 5 + 2 x$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (lim_{x \to - 3} 5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Étape 12

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + lim_{x \to - 3} 2 x)$

Étape 13

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{6} e^{lim_{x \to - 3} x + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 lim_{x \to - 3} x)$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{1}{6} e^{- 3 + 3} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$\frac{1}{6} e^{0} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Étape 15.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Étape 15.3

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 + 2 \cdot - 3)$

Étape 15.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot (5 - 6)$

Étape 15.5

Soustrayez $6$ de $5$ .

$\frac{1}{6} \cdot - 1$

Étape 15.6

Associez $\frac{1}{6}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{6}$

Étape 15.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6}$