Calcul infinitésimal Exemples

$- 4 x^{2} + 3 - y + x = y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 3 - y + x) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{2} + 3 - y + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 x + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 x + 0 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 8 x + 0 - \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 8 x + 0 - y' + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 x + 0 - y' + 1$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $- 8 x$ et $0$ .

$- 8 x - y' + 1$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 x + 1 - y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 8 x + 1 - y' = 3 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 x + 1 - y' - 3 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $8 x$ aux deux côtés de l’équation.

$1 - y' - 3 y^{2} y' = 8 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y' - 3 y^{2} y' = 8 x - 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' - 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' \cdot - 1 - 3 y^{2} y' = 8 x - 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2}) = 8 x - 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$ par $- 1 - 3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 1 - 3 y^{2}) = 8 x - 1$ par $- 1 - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- 1 - 3 y^{2})}{- 1 - 3 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1 - 3 y^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 1 - 3 y^{2})}{- 1 - 3 y^{2}} = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{8 x}{- 1 - 3 y^{2}} + \frac{- 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1) - 3 y^{2}}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1) - (3 y^{2})}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{8 x - 1}{- 1 (1 + 3 y^{2})}$

Étape 5.4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{8 x - 1}{1 + 3 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x - 1}{1 + 3 y^{2}}$