Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \arctan (4 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (4 x)$ et $d v = 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{4}{16 x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x$ et $\frac{4}{16 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 4}{16 x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{4 x}{16 x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - (4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x)$

Étape 4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} \frac{x}{16 x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Laissez $u = 16 x^{2} + 1$ . Alors $d u = 32 x d x$ , donc $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 16 x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$32 x + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $32 x$ et $0$ .

$32 x$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 16 \cdot 0^{2} + 1$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 16 \cdot 0 + 1$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $16$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 5.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 16 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1^{2} + 1$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 16 \cdot 1 + 1$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $16$ par $1$ .

$u_{upper} = 16 + 1$

Étape 5.5.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$u_{upper} = 17$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 17$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{32}$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{u \cdot 32} d u$

Étape 6.2

Déplacez $32$ à gauche de $u$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 \int_{1}^{17} \frac{1}{32 u} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{32}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{32}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - 4 (\frac{1}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{32}$ et $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 4}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $32$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 (- 1)}{32} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $32$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \int_{1}^{17} \frac{1}{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (4 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

Étape 10

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Étape 10.1

Évaluez $\arctan (4 x) x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} \ln (| u |)]_{1}^{17}$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $17$ et sur $1$ .

$(\arctan (4 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.2

Multipliez.

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Étape 10.2.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\arctan (4) \cdot 1 - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $\arctan (4)$ par $1$ .

$\arctan (4) - \arctan (4 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$\arctan (4) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.3

Simplifiez

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\arctan (4) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $0$ par $\arctan (0)$ .

$\arctan (4) + 0 - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.2.4

Additionnez $\arctan (4)$ et $0$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} ((\ln (| 17 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (4) - \frac{1}{8} \ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$

Étape 10.3.2

Associez $\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})$ et $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{| 17 |}{| 1 |})}{8}$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $17$ est $17$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{| 1 |})}{8}$

Étape 10.4.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (\frac{17}{1})}{8}$

Étape 10.4.3

Divisez $17$ par $1$ .

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\arctan (4) - \frac{\ln (17)}{8}$

Forme décimale :

$0.97166599 \dots$