Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Étape 3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

Étape 7

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - - 5$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Étape 11

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Étape 11.2

Évaluez $e^{u}$ sur $- 1$ et sur $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3

Simplifiez

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Étape 11.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.4

Soustrayez $25$ de $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.5

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $2$ .

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Étape 11.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.5.2.4

Divisez $- 12$ par $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Étape 11.3.6

Multipliez $- 5$ par $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

Étape 12.3

Associez $- 4$ et $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

Étape 12.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Forme décimale :

$652.18111864 \dots$

Étape 14