Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (f (x)) = \frac{d}{d x} (e^{x y})$

Étape 2

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $f (x)$ est $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$e^{x y} (x y' + y)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x y} (x y') + e^{x y} y$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x y' + e^{x y} y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$ .

$e^{x y} x y' + e^{x y} y = \frac{d f}{d x}$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x y} x y' + e^{x y} y$ .

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$x y' e^{x y} + y e^{x y} = \frac{f}{x}$

Étape 5.4

Soustrayez $y e^{x y}$ des deux côtés de l’équation.

$x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ par $x e^{x y}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $x y' e^{x y} = \frac{f}{x} - y e^{x y}$ par $x e^{x y}$ .

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' e^{x y}}{x e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{f}{x}}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.2

Associez.

$y' = \frac{f \cdot 1}{x (x e^{x y})} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x \cdot x e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{f \cdot 1}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.4

Multipliez $f$ par $1$ .

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.5

Annulez le facteur commun de $e^{x y}$ .

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Étape 5.5.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y e^{x y}}{x e^{x y}}$

Étape 5.5.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.5.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{f}{x^{2} e^{x y}} - \frac{y}{x}$