Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \sqrt{2 x^{2} - x - 4}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x^{2} - x - 4}$ comme ${(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x^{2} - x - 4$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{2} - x - 4$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} - x - 4$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{2} {(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.7.3

Placez ${(2 x^{2} - x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4])$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $3$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x - 4]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.15

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1 + 0)$

Étape 4.16

Additionnez $4 x - 1$ et $0$ .

$\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$

Étape 4.17

Simplifiez

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Étape 4.17.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.2

Multipliez $4 x - 1$ par $\frac{3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 3}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.3

Déplacez $3$ à gauche de $4 x - 1$ .

$\frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (4 x - 1)}{2 {(2 x^{2} - x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$