Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{1}{x})}^{x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

Étape 3

Réécrivez $x \ln (\frac{1}{x})$ comme $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Étape 4.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.9

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 4.3.11

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 4.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

Étape 4.3.13

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 4.5

Combinez les facteurs.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{1}{x}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

Étape 4.6.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Étape 4.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

Étape 4.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

Étape 4.6.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{0}$

Étape 6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$