Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{e^{2 - 5 x}} d x$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Inversez l’exposant de $e^{2 - 5 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{2 - 5 x})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 - 5 x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{(2 - 5 x) \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 e^{2 \cdot - 1 - 5 x \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int 1 e^{- 2 - 5 x \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\int 1 e^{- 2 + 5 x} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $e^{- 2 + 5 x}$ par $1$ .

$\int e^{- 2 + 5 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = - 2 + 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - 2 + 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- 2 + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + 5 x]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.1.2.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 5 \cdot 1$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$0 + 5$

Étape 5.1.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$5$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 + 5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{e^{2 - 5 x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} e^{- 2 + 5 x} + C$