Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{1}{5} {(x - 5)}^{2} - 2$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot ((x - 5) (x - 5)) - 2$

Étape 1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x (x - 5) - 5 (x - 5)) - 2$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) - 2$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) - 2$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) - 2$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$f (x) = - \frac{1}{5} \cdot (x^{2} - 10 x + 25) - 2$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{2} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{5}$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - \frac{1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (- 10 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 10 x$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 2 x)) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} - 1 (- 2 x) - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - \frac{1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot 25 - 2$

Étape 1.5.4.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 (5)) - 2$

Étape 1.5.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x + \frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot 5) - 2$

Étape 1.5.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 1 \cdot 5 - 2$

Étape 1.5.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 5 - 2$

Étape 2

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$f (x) = - \frac{x^{2}}{5} + 2 x - 7$

Étape 3

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{2}{2 (- 0.2)}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{2}{2 (- 0.2)}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2}{2 \cdot - 0.2}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{1}{- 0.2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Divisez $1$ par $- 0.2$ .

$x = - - 5$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$x = 5$

Étape 5

Évaluez $f (5)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{5} + 2 (5) - 7$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(5)}^{2}$ et $5$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de ${(5)}^{2}$ .

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5} + 2 (5) - 7$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 (1)} + 2 (5) - 7$

Étape 5.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (5) = - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 1} + 2 (5) - 7$

Étape 5.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (5) = - \frac{5}{1} + 2 (5) - 7$

Étape 5.2.1.1.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$f (5) = - 1 \cdot 5 + 2 (5) - 7$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (5) = - 5 + 2 (5) - 7$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (5) = - 5 + 10 - 7$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$f (5) = 5 - 7$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $7$ de $5$ .

$f (5) = - 2$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(5, - 2)$

Étape 7