Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - x y^{3} + 3 - 4 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{3}$ .

$9 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$9 x^{2} - (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 x^{2} - (x (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 x^{2} - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$9 x^{2} - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 4 (3 y^{2} y')$

Étape 2.5.4

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 0 - 12 y^{2} y'$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x^{2} - (3 x y^{2} y') - y^{3} + 0 - 12 y^{2} y'$

Étape 2.6.2

Associez des termes.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 (x y^{2} y') - y^{3} + 0 - 12 y^{2} y'$

Étape 2.6.2.2

Additionnez $9 x^{2} - 3 x y^{2} y' - y^{3}$ et $0$ .

$9 x^{2} - 3 x y^{2} y' - y^{3} - 12 y^{2} y'$

Étape 2.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y^{3} + 9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y^{3} + 9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x^{2} - 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $9 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3} - 9 x^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 3 y^{2} x y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 12 y^{2} y' = y^{3} - 9 x^{2}$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 12 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4 = y^{3} - 9 x^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$

Étape 5.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$ par $3 y^{2} (- x - 4)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} - 9 x^{2}$ par $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $- x - 4$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{- 9 x^{2}}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $3$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 (y^{2} (- x - 4))}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{3 (- 3 x^{2})}{3 (y^{2} (- x - 4))}$

Étape 5.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{- 3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} - \frac{3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 4)} - \frac{3 x^{2}}{y^{2} (- x - 4)}$