Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

Étape 3.5.2

Multipliez $t + 1$ par $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ .

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $t + 1$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $t + 1$ à partir de ${(t + 1)}^{2}$ .

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{t + 1}$