Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Étape 5

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 6.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 6.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

$F (x) =$ ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$