Calcul infinitésimal Exemples

Let $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $x - 3$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 3 - x - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 3 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2.3

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 = 0$

Étape 2.3

Comme $4 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{{(x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4

Évaluez $\frac{x + 1}{x - 3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{(3) + 1}{(3) - 3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{(3) + 1}{0}$

Étape 4.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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