Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Étape 1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{0}{\tan (0)}$

Étape 2.1.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{\cos (0)}{\sec^{2} (0)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 \frac{1}{1^{2}}$

Étape 5.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$