Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{5 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.7.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.1.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (3 x) - \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.2.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.6

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 1 \cdot 2 \cdot \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{1}$

Étape 2.4

Divisez $3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Étape 3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{5} (3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Étape 3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Étape 3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x))$

Étape 3.6

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2})$

Étape 3.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Étape 3.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Étape 5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Étape 5.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (0))$

Étape 5.1.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1^{2})$

Étape 5.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1)$

Étape 5.1.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2)$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{5}$

Forme décimale :

$0.2$