Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Étape 1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Étape 1.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.5

Réécrivez $4 \cos^{2} (t)$ comme ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int - \frac{1}{4 \sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\int - \frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 3.2.2

Associez $\cos (t)$ et $\frac{1}{8 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int - \frac{\cos (t)}{8 \sin (t) \cos (t)} d t$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int - \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{8 \sin (t)} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Étape 6

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Étape 7

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$