Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

Étape 5

Multipliez $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Étape 6

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

Étape 6.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

Étape 6.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Étape 9

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Étape 10

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Étape 12

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Étape 12.1

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$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Étape 12.2

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Étape 12.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Étape 12.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$