Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 1) \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $(x - 1) \sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Développez $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$