Calcul infinitésimal Exemples

Let $g (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 3$ et $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Factorisez $x^{2} + 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.3.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 1.1.3.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.3.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3}{(- 1) + 2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 - 3}{- 1 + 2}$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{- 1 + 2}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Étape 4.1.2.2.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3}{(- 3) + 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 - 3}{- 3 + 2}$

Étape 4.2.2.1.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{6}{- 3 + 2}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$\frac{6}{- 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $6$ par $- 1$ .

$- 6$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{(- 2) + 2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{0}$

Étape 4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- 1, - 2), (- 3, - 6)$

Étape 5