Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{x^{2} - 13 x + 36}{x - 9}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x^{2} - 13 x + 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x^{2} - lim_{x \to 9^{+}} 13 x + lim_{x \to 9^{+}} 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 9^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 9^{+}} 13 x + lim_{x \to 9^{+}} 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $13$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9^{+}} x)}^{2} - 13 lim_{x \to 9^{+}} x + lim_{x \to 9^{+}} 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $36$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9^{+}} x)}^{2} - 13 lim_{x \to 9^{+}} x + 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{9^{2} - 13 lim_{x \to 9^{+}} x + 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{9^{2} - 13 \cdot 9 + 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{81 - 13 \cdot 9 + 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $- 13$ par $9$ .

$\frac{81 - 117 + 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $117$ de $81$ .

$\frac{- 36 + 36}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $- 36$ et $36$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 9}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{x^{2} - 13 x + 36}{x - 9} = lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 13 x + 36]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 13 x + 36]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 13 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [36]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 13 x] + \frac{d}{d x} [36]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 13 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13 x$ par rapport à $x$ est $- 13 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 13$ par $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13 + \frac{d}{d x} [36]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.5

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $2 x - 13$ et $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13}{1 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{2 x - 13}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 x - 13$ par $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} 2 x - 13$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$lim_{x \to 9^{+}} 2 x - lim_{x \to 9^{+}} 13$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 13$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $13$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$2 lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 13$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$2 \cdot 9 - 1 \cdot 13$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 - 1 \cdot 13$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$18 - 13$

Étape 4.2

Soustrayez $13$ de $18$ .

$5$