Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Étape 1.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Étape 1.2.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Étape 1.2.6

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

Étape 1.2.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

Étape 1.2.8

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

Étape 1.2.9

Associez $\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ et $\frac{π}{2}$ .

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

Étape 1.2.10

Associez $- 4$ et $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Étape 1.2.11

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Étape 1.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

Étape 1.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

Étape 1.2.11.2.4

Divisez $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ par $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

Étape 1.3.2.3

Associez $\frac{π}{2}$ et $x$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Étape 1.3.2.4

Soustrayez $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ de $0$ .

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ .

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 2 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ par rapport à $x$ est $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 2.3.5

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Étape 2.3.6

Comme $- \frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π}{6}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

Étape 2.3.7

Associez les fractions.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

Étape 2.3.7.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Étape 2.3.7.3

Associez $\frac{π \cdot 2}{2}$ et $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 2.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 2.8

Associez $\frac{2 π^{2}}{2}$ et $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Étape 2.9.2

Divisez $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ par $1$ .

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ par $- 2 π$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ par $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ par $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $- 2$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Étape 4.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Étape 4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Étape 4.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

Étape 4.3.2

Divisez $0$ par $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $\frac{π}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Étape 7.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Étape 7.5.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Étape 7.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Étape 7.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 7.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Étape 8

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 9

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Étape 9.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 9.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 9.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 9.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Étape 9.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Étape 9.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Étape 9.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 10

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 11.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.1.2

Associez les fractions.

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Étape 11.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 11.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 11.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 11.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Étape 11.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.2.1

Ajoutez $\frac{π}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Étape 11.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 11.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Étape 11.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

Étape 11.2.5.2

Additionnez $9 π$ et $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

Étape 11.2.6

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $10 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Étape 11.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Étape 11.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 11.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Étape 11.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 11.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 11.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 11.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 11.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 11.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1.1.1

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Étape 11.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Étape 11.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (\frac{5}{3})$

Étape 11.4.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Étape 11.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{10}{3}$

Étape 12

La solution de l’équation est $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{4}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 14.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 14.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 14.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 14.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 14.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

Étape 14.2

Pour écrire $\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 14.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Étape 14.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

Étape 14.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

Étape 14.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

Étape 14.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Étape 14.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Étape 14.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Étape 14.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

Étape 14.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$π^{2} \cdot 1$

Étape 14.8

Multipliez $π^{2}$ par $1$ .

$π^{2}$

Étape 15

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{4}{3}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{4}{3}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

Étape 16.2.1.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 16.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 16.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 16.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 16.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

Étape 16.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

Étape 16.2.2

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{10}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.1.1

Associez $π$ et $\frac{10}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 18.1.2

Déplacez $10$ à gauche de $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 18.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 18.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 18.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 18.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

Étape 18.2

Pour écrire $\frac{5 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Étape 18.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 18.3.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Étape 18.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Étape 18.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

Étape 18.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.5.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

Étape 18.5.2

Soustrayez $π$ de $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

Étape 18.6

Annulez le facteur commun à $9$ et $6$ .

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Étape 18.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Étape 18.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Étape 18.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Étape 18.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 18.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 18.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Étape 18.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π^{2} \cdot - 1$

Étape 18.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $π^{2}$ .

$- 1 \cdot π^{2}$

Étape 18.11

Réécrivez $- 1 π^{2}$ comme $- π^{2}$ .

$- π^{2}$

Étape 19

$x = \frac{10}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{10}{3}$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{10}{3}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{10}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

Étape 20.2.1.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

Étape 20.2.1.3

Divisez $9$ par $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Étape 20.2.1.4

Associez $\frac{π}{2}$ et $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Étape 20.2.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Étape 20.2.1.6

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 20.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 20.2.1.8

Multipliez $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 20.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

Étape 20.2.1.8.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

Étape 20.2.2

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$f (\frac{10}{3}) = 2$

Étape 20.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ .

$(\frac{4}{3}, - 6)$ est un minimum local

$(\frac{10}{3}, 2)$ est un maximum local

Étape 22