Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Étape 3.2.4

Multipliez $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ par $1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 3.3.3.3

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Étape 3.3.3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Étape 3.3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

Étape 3.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.5.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.3.5.2

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.3.5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

Étape 3.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

Étape 3.3.7

Multipliez $\frac{2}{x^{2} + 4}$ par $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$