Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{7 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = \sqrt{7} \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sqrt{7} \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{7} \cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - {(\sqrt{7} \sin (t))}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{7} \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Multipliez par $1$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez ${\sqrt{7}}^{2}$ à partir de $- ({\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez ${\sqrt{7}}^{2}$ à partir de ${\sqrt{7}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{7}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{{\sqrt{7}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \sqrt{7^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sqrt{7^{1} \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\int \sqrt{7 \cdot \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

$\int \sqrt{7 \cos^{2} (t)} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Remettez dans l’ordre $7$ et $\cos^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int \cos (t) \sqrt{7} (\sqrt{7} \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Étape 2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Étape 2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos^{2} (t) \sqrt{7} \sqrt{7} d t$

Étape 2.2.5

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) d t$

Étape 2.2.6

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{2} (t) ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) d t$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos^{2} (t) {\sqrt{7}}^{2} d t$

Étape 2.2.9

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \cos^{2} (t) {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Étape 2.2.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Étape 2.2.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Étape 2.2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{\frac{2}{2}} d t$

Étape 2.2.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7^{1} d t$

Étape 2.2.9.5

Évaluez l’exposant.

$\int \cos^{2} (t) \cdot 7 d t$

Étape 2.2.10

Déplacez $7$ à gauche de $\cos^{2} (t)$ .

$\int 7 \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$7 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$7 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{2}$ et $7$ .

$\frac{7}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{7}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 10

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{7}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{7}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 14.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}))) + C$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}))) + C$

Étape 15.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.2.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}))) + C$

Étape 15.1.2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}))) + C$

Étape 15.1.2.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}))) + C$

Étape 15.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}))) + C$

Étape 15.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}))) + C$

Étape 15.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}))) + C$

Étape 15.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))) + C$

Étape 15.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Étape 15.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}))) + C$

Étape 15.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}}))) + C$

Étape 15.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))) + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))$ .

$\frac{7}{2} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}}) + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{7}{2}$ et $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2} + C$

Étape 15.4

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.1

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 15.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7^{1}})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{7 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7})}{2} + \frac{7 \sin (2 \arcsin (\frac{x \sqrt{7}}{7}))}{4} + C$

Étape 16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7}{2} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x) + \frac{7}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{7} x)) + C$