Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Réécrivez $- 8$ comme ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + 8}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{- 8 + 8}$

Étape 1.1.3.3.2

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{x - 6} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 6}$ comme ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.12

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.13

Multipliez $\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.3.14

Placez ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}$

Étape 1.3.8

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Étape 1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 x^{2})}$

Étape 1.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{9 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{9}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to - 2} \frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $\frac{2}{3}$ de ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 2.8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{9 ({(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2})}$

Étape 4.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $6$ de $- 2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}$

Étape 4.3.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{1}{36 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $- 8$ comme ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{1}{36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.3.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.3.8

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Étape 4.4

Multipliez $36$ par $4$ .

$\frac{1}{144}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{144}$

Forme décimale :

$0.0069\overline{4}$