Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Étape 1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \csc (x)$ . Alors $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , donc $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \csc (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Étape 2.1.3

Réorganisez les facteurs de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Étape 2.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Étape 2.3.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Étape 2.5.2

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Étape 2.5.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Étape 3

Réécrivez $- 1 u$ comme $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $- \sqrt{2}$ et sur $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de produit à $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Étape 8.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Étape 8.2.10

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Étape 8.2.11

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Étape 8.2.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2}$

Étape 8.2.12.2

Réécrivez l’expression.

$1$