Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (2 x + 3 y^{3}) = 3 y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 x + 3 y^{3})) = \frac{d}{d x} (3 y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x + 3 y^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x + 3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x + 3 y^{3}$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Étape 2.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$ .

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Étape 5.1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Étape 5.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \cdot 2 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Étape 5.1.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Étape 5.1.1.4.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y') = 6 y y'$

Étape 5.1.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y')$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) = 6 y y'$

Étape 5.2

Soustrayez $6 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 0$

Étape 5.3

Ajoutez $2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ aux deux côtés de l’équation.

$- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Étape 5.4

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Étape 5.4.2

Factorisez $3 y y'$ à partir de $- 6 y y'$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2 = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Étape 5.4.3

Factorisez $3 y y'$ à partir de $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ par $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ par $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ .

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Étape 5.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Étape 5.5.2.3

Annulez le facteur commun de $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Étape 5.5.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 2)}$

Étape 5.5.3.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2))}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.4.1

Réécrivez $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ comme $- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Étape 5.5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Étape 5.5.3.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$ .

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$