Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 + \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $2$ par $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 4.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Forme décimale :

$1.21895141 \dots$