Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ comme ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = y^{2} + x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2} + x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2} + x^{2}$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Étape 4.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Étape 4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Étape 4.2.5

Associez $y$ et $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Étape 4.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$