Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{2 x - x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

Étape 4

Complétez le carré.

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Étape 4.1

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Étape 4.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Étape 4.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 4.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{- 1}$

Étape 4.4.2.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 4.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Étape 4.5.2.1.3

Divisez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Étape 4.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$e = 1$

Étape 4.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Étape 6

Laissez $u_{1} = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Simplifiez $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

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Étape 7.1.1

Remettez dans l’ordre $- \sin^{2} (t)$ et $1$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 7.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 7.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Étape 7.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Étape 7.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 7.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Étape 8

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 12

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Alors $d u_{2} = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{2} = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 12.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 12.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 12.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 13

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 15

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Étape 16

Simplifiez

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 17.4

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Étape 17.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Étape 18.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arcsin (x - 1)$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Étape 18.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

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Étape 18.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 18.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

Étape 19

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

Étape 20

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$