Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{3 \cos (x + 2) + x}{4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 3 \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 2} \cos (x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + x^{3}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{lim_{x \to - 2} 4 \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Étape 8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 lim_{x \to - 2} \ln (- 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Étape 9

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (lim_{x \to - 2} - 3 - 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- lim_{x \to - 2} 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Étape 11

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 1 \cdot 3 - lim_{x \to - 2} 2 x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Étape 13

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) + lim_{x \to - 2} x}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 lim_{x \to - 2} x) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Étape 14.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{3 \cos (- 2 + 2) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{3 \cos (0) - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 - 2}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.1.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{4 \ln (- 3 - 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{4 \ln (- 3 + 4) + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.2.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$\frac{1}{4 \ln (1) + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{1}{4 \cdot 0 + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{0 + {(- 2)}^{3}}$

Étape 15.2.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{0 - 8}$

Étape 15.2.6

Soustrayez $8$ de $0$ .

$\frac{1}{- 8}$

Étape 15.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8}$