Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 8.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 8.3

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 8.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 8.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 8.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 8.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}} + C$