Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Étape 10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Étape 12.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Étape 12.2.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 12.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

Étape 12.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

Étape 12.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Étape 12.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

Étape 12.2.3.2.4

Divisez $- x^{3}$ par $1$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$