Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{5} + 1}{x + x^{3}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{5}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3} (4 x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

Étape 3

Lorsque $x$ approche de $- \infty$ , la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{\frac{1}{x^{2}} + 1}$

Étape 4

Lorsque $x$ approche de $- \infty$ , la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$

Étape 5

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction $\frac{4 x^{2} + 0}{0 + 1}$ approche de l’infini.

$\infty$