Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{3})$

Étape 1

Placez le terme $- 11$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{3})$

Étape 2

Associez $\frac{r}{3}$ et $\ln (\frac{r}{3})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{3})}{3}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{3})$

Étape 4

Réécrivez $r \ln (\frac{r}{3})$ comme $\frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{3})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Étape 5.1.2

Lorsque $r$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (\frac{r}{3})$ diminue sans borne.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Étape 5.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $r$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{r}$ approche de l’infini.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Étape 5.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ est $f' (g (r)) g' (r)$ où $f (r) = \ln (r)$ et $g (r) = \frac{r}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{3}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.4

Multipliez $\frac{3}{r}$ par $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{r}{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \cdot \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.9

Multipliez $\frac{1}{r}$ par $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Étape 5.3.10

Réécrivez $\frac{1}{r}$ comme $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Étape 5.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Étape 5.3.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Étape 5.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{r}$ et $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $r^{2}$ et $r$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Factorisez $r$ à partir de $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.2.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Étape 5.6.2.2

Factorisez $r$ à partir de $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Étape 5.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Étape 5.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Étape 5.6.2.5

Divisez $r$ par $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Étape 6

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite de $r$ en insérant $0$ pour $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Associez $- 11$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Étape 6.2.3

Multipliez $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{11}{3}$ .

$0$