Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + \sin (x)$ . Alors $d u = (1 + \cos (x)) d x$ , donc $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Étape 2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Étape 3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + \sin (x)$ .

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$