Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (x) \sin (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sin (x) \sec^{2} (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\cos (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $\cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.1.3

Annulez les facteurs communs.

$\sin (x) + \sec^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Étape 4.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Étape 4.2.5

Associez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 4.3.2

Séparez les fractions.

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.3.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\sin (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Étape 4.3.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sin (x) + \sec (x) \tan (x)$