Calcul infinitésimal Exemples

$\int 16 x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Étape 1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , placez $16$ en dehors de l’intégrale.

$16 \int x^{2} \sqrt[3]{7 - 4 x^{3}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 7 - 4 x^{3}$ . Alors $d u = - 12 x^{2} d x$ , donc $- \frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 7 - 4 x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $7 - 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 4 x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 4 (3 x^{2})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$0 - 12 x^{2}$

Étape 2.1.4

Soustrayez $12 x^{2}$ de $0$ .

$- 12 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$16 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 12} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Étape 3.2

Associez $\sqrt[3]{u}$ et $\frac{1}{12}$ .

$16 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$16 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 16 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{12} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$- 16 (\frac{1}{12} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $- 16$ .

$\frac{- 16}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $12$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16$ .

$\frac{4 (- 4)}{12} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Étape 7.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{u}$ comme $u^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $u$ est $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{4}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ comme $- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{12}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 9.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{12}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1 u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- u^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 - 4 x^{3}$ .

$- {(7 - 4 x^{3})}^{\frac{4}{3}} + C$