Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{- 4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.2.6.2.4

Divisez $- 2 x^{3}$ par $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{2}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $28$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ et $0$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (56 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (56 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [56 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $56$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $56 x$ par rapport à $x$ est $56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $56$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 12 x + 56$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 4 (\frac{1}{2}) \cdot x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{- 4}{2}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.2.6.2.4

Divisez $- 2 x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{2}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $28$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} (18)$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + 56 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 56 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 2 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) + 56 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 2 x$ à partir de $56 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot - 28 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 3 x)$ .

$- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x \cdot - 28 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 2 x$ à partir de $- 2 x (x^{2} - 3 x) - 2 x (- 28)$ .

$- 2 x (x^{2} - 3 x - 28) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 7, 4$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 x ((x - 7) (x + 4)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 x (x - 7) (x + 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 5.6

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 x (x - 7) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 7, - 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 7, - 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 {(0)}^{2} + 12 (0) + 56$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 6 \cdot 0 + 12 (0) + 56$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 6$ par $0$ .

$0 + 12 (0) + 56$

Étape 9.1.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 0 + 56$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 56$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $56$ .

$56$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 11.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Étape 11.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} + 18$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} + 18$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 28 {(0)}^{2} + 18$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 28 \cdot 0 + 18$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $28$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 18$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 18$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $18$ .

$f (0) = 18$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $18$ .

$y = 18$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 7$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 {(7)}^{2} + 12 (7) + 56$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$- 6 \cdot 49 + 12 (7) + 56$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 6$ par $49$ .

$- 294 + 12 (7) + 56$

Étape 13.1.3

Multipliez $12$ par $7$ .

$- 294 + 84 + 56$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 294$ et $84$ .

$- 210 + 56$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 210$ et $56$ .

$- 154$

Étape 14

$x = 7$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 7$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 7$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = - \frac{1}{2} \cdot {(7)}^{4} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$f (7) = - \frac{1}{2} \cdot 2401 + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 2401$ .

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Étape 15.2.1.2.1

Multipliez $2401$ par $- 1$ .

$f (7) = - 2401 (\frac{1}{2}) + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Étape 15.2.1.2.2

Associez $- 2401$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (7) = \frac{- 2401}{2} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Étape 15.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 2 {(7)}^{3} + 28 {(7)}^{2} + 18$

Étape 15.2.1.4

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 2 \cdot 343 + 28 {(7)}^{2} + 18$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $2$ par $343$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 28 {(7)}^{2} + 18$

Étape 15.2.1.6

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 28 \cdot 49 + 18$

Étape 15.2.1.7

Multipliez $28$ par $49$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + 686 + 1372 + 18$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Écrivez $686$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686}{1} + 1372 + 18$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{686}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1372 + 18$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{686}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + 1372 + 18$

Étape 15.2.2.4

Écrivez $1372$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372}{1} + 18$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $\frac{1372}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372}{1} \cdot \frac{2}{2} + 18$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{1372}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + 18$

Étape 15.2.2.7

Écrivez $18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18}{1}$

Étape 15.2.2.8

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $\frac{18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (7) = - \frac{2401}{2} + \frac{686 \cdot 2}{2} + \frac{1372 \cdot 2}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (7) = \frac{- 2401 + 686 \cdot 2 + 1372 \cdot 2 + 18 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Multipliez $686$ par $2$ .

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 1372 \cdot 2 + 18 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $1372$ par $2$ .

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 2744 + 18 \cdot 2}{2}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $18$ par $2$ .

$f (7) = \frac{- 2401 + 1372 + 2744 + 36}{2}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.5.1

Additionnez $- 2401$ et $1372$ .

$f (7) = \frac{- 1029 + 2744 + 36}{2}$

Étape 15.2.5.2

Additionnez $- 1029$ et $2744$ .

$f (7) = \frac{1715 + 36}{2}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $1715$ et $36$ .

$f (7) = \frac{1751}{2}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{1751}{2}$ .

$y = \frac{1751}{2}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4) + 56$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- 6 \cdot 16 + 12 (- 4) + 56$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 6$ par $16$ .

$- 96 + 12 (- 4) + 56$

Étape 17.1.3

Multipliez $12$ par $- 4$ .

$- 96 - 48 + 56$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $48$ de $- 96$ .

$- 144 + 56$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 144$ et $56$ .

$- 88$

Étape 18

$x = - 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 4$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - 4$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f (- 4) = - \frac{1}{2} \cdot 256 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot 256 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (128)) + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 128) + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 4) = - 1 \cdot 128 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$f (- 4) = - 128 + 2 {(- 4)}^{3} + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f (- 4) = - 128 + 2 \cdot - 64 + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$f (- 4) = - 128 - 128 + 28 {(- 4)}^{2} + 18$

Étape 19.2.1.6

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = - 128 - 128 + 28 \cdot 16 + 18$

Étape 19.2.1.7

Multipliez $28$ par $16$ .

$f (- 4) = - 128 - 128 + 448 + 18$

Étape 19.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.2.1

Soustrayez $128$ de $- 128$ .

$f (- 4) = - 256 + 448 + 18$

Étape 19.2.2.2

Additionnez $- 256$ et $448$ .

$f (- 4) = 192 + 18$

Étape 19.2.2.3

Additionnez $192$ et $18$ .

$f (- 4) = 210$

Étape 19.2.3

La réponse finale est $210$ .

$y = 210$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3} + 28 x^{2} + 18$ .

$(0, 18)$ est un minimum local

$(7, \frac{1751}{2})$ est un maximum local

$(- 4, 210)$ est un maximum local

Étape 21