Calcul infinitésimal Exemples

$y = x \ln (x) - x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \ln (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.4

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.2.6

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 + \ln (x)$

Étape 3.4.2

Additionnez $0$ et $\ln (x)$ .

$\ln (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \ln (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$