Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{2 x + y} = x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + y}$ comme ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = x$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x + y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.6.3

Placez ${(2 x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.11

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 + y')$ .

$(2 + y') \frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $2 + y'$ par $\frac{1}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 + y'}{2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 + y'}{{(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 + y' = 1 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4

Remettez dans l’ordre $2$ et $y'$ .

$y' + 2 = 1 (2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y' + 2 = 2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y' = 2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 {(2 x + y)}^{\frac{1}{2}} - 2$