Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.7

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.8.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.8.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 4) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.8.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.8.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.2.8.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (4 - 2 x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (4 - 2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 - 2 x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.8

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 \sin (4 - 2 x)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.3.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.8

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + 0}$

Étape 3.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{x}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 2} 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 11

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{2}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 14.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 \cdot 2)}{2}$

Étape 14.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 4)}{2}$

Étape 14.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (0)}{2}$

Étape 14.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \cdot 0}{2}$

Étape 14.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 0}{2}$

Étape 14.1.5

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Étape 14.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 14.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4}$