Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = 1 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $3$ et sur $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Placez $3^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Multipliez $3^{\frac{3}{2}}$ par $3^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 6.2.8

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

Étape 6.2.9

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

Étape 6.2.10

Additionnez $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.11

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.12

Associez $\frac{2}{2}$ et $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6.2.13

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 6.2.14

Divisez $3^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$3^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3^{\frac{1}{2}}$

Forme décimale :

$1.73205080 \dots$

Étape 8