Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x^{2} + y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2} + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x^{2} + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + y$ .

$- \sin (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ par $- \sin (x^{2} + y)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ par $- \sin (x^{2} + y)$ .

$\frac{- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{- \sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x^{2} + y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $2 x + y'$ par $1$ .

$2 x + y' = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$2 x + y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (x^{2} + y)}$

Étape 5.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x + y' = - \frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$

Étape 5.1.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$ à $\csc (x^{2} + y)$ .

$2 x + y' = - \csc (x^{2} + y)$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y' = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$