Calcul infinitésimal Exemples

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $4 y y'$ et $0$ .

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

Étape 3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 y y'$ .

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.4

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u$ .

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5.2.2

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.5.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

Étape 5.5.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 u + 1$ .

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

Étape 5.6

Factorisez.

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Étape 5.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Étape 5.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ par $(- 3 y + 1) (y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ par $(- 3 y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 y + 1$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 5.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.3.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

Étape 5.7.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.3.5.1

Réécrivez $- (3 y - 1)$ comme $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.7.3.5.4

Multipliez $\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$