Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - \cos (x)$ . Alors $d u = \sin (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 - \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$0 + \sin (x)$

Étape 1.1.4

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

Étape 1.5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 - - 1$

Étape 1.5.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

Étape 3

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 3.2.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Étape 3.2.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0$

Étape 3.2.6

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$\frac{8}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{3}$

Forme décimale :

$2.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{2}{3}$