Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \cos (2 x)$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 3 \cos (2 x) d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \cos (2 x) d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$\frac{3}{2} \int \cos (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{3}{2} (\sin (u) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{3}{2} \sin (u) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{3}{2} \sin (2 x) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 3 \cos (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \sin (2 x) + C$