Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (h - \frac{4 h}{b^{2}} x^{2}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 h}{b^{2}} \cdot x^{2} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{x^{2} (4 h)}{b^{2}} d x$

Étape 2.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} h d x + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} + \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \frac{4 x^{2} h}{b^{2}} d x$

Étape 6

Comme $\frac{4 h}{b^{2}}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{4 h}{b^{2}}$ en dehors de l’intégrale.

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - (\frac{4 h}{b^{2}} \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} x^{2} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 h}{b^{2}} \frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$

Étape 8.1.2

Associez $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ et $\frac{4 h}{b^{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} (4 h)}{b^{2}}$

Étape 8.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}$ .

$h x]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $h x$ sur $\frac{b}{2}$ et sur $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $\frac{b}{2}$ et sur $- \frac{b}{2}$ .

$(h \frac{b}{2}) - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez

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Étape 8.2.3.1

Associez $h$ et $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} - h (- \frac{b}{2}) - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{h b}{2} + 1 h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{h b}{2} + h \frac{b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.4

Associez $h$ et $\frac{b}{2}$ .

$\frac{h b}{2} + \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.5

Additionnez $\frac{h b}{2}$ et $\frac{h b}{2}$ .

$2 \frac{h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.6

Associez $2$ et $\frac{h b}{2}$ .

$\frac{2 (h b)}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 h b}{2} - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.7.2

Divisez $h b$ par $1$ .

$h b - \frac{4 ((\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{b}{2}$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{b}{2}))}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.9

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{b}{2})$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.13

Multipliez $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ par $1$ .

$h b - \frac{4 (\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.14

Additionnez $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ et $\frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}$ .

$h b - \frac{4 (2 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3}) h}{b^{2}}$

Étape 8.2.3.15

Multipliez $2$ par $4$ .

$h b - \frac{8 \frac{{(\frac{b}{2})}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$h b - \frac{8 (\frac{1}{3}) {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Associez $8$ et $\frac{1}{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8}{3} {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{b^{2}}$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{8}{3}$ et ${(\frac{1}{2} b)}^{3}$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3} h}{b^{2}}$

Étape 9.1.3

Associez $\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3}}{3}$ et $h$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{1}{2} b)}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $b$ .

$h b - \frac{\frac{8 {(\frac{b}{2})}^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{b}{2}$ .

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{2^{3}} h}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$h b - \frac{\frac{8 \frac{b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2.4

Associez les exposants.

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Étape 9.2.4.1

Associez $8$ et $\frac{b^{3}}{8}$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3}}{8} h}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2.4.2

Associez $\frac{8 b^{3}}{8}$ et $h$ .

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.5.1

Réduisez l’expression $\frac{8 b^{3} h}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$h b - \frac{\frac{\frac{8 b^{3} h}{8}}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$h b - \frac{\frac{\frac{b^{3} h}{1}}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.2.5.2

Divisez $b^{3} h$ par $1$ .

$h b - \frac{\frac{b^{3} h}{3}}{b^{2}}$

Étape 9.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$h b - (\frac{b^{3} h}{3} \cdot \frac{1}{b^{2}})$

Étape 9.4

Associez.

$h b - \frac{b^{3} h \cdot 1}{3 b^{2}}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun à $b^{3}$ et $b^{2}$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $b^{3} h \cdot 1$ .

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{3 b^{2}}$

Étape 9.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.2.1

Factorisez $b^{2}$ à partir de $3 b^{2}$ .

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Étape 9.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$h b - \frac{b^{2} (b h \cdot 1)}{b^{2} \cdot 3}$

Étape 9.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$h b - \frac{b h \cdot 1}{3}$

Étape 9.6

Multipliez $b$ par $1$ .

$h b - \frac{b h}{3}$